Движение твердого тела под действием обобщенных сил

К.М. Селиванов
Чайковский технологический институт (филиал) Ижевского государственного технического университета,
г. Чайковский


Сформулированы принципы построение математической модели динамики твердого тела на основе фундаментальных положений аналитической динамики, построена математическая модель движения твердого тела в форме системы уравнений Гамильтона.

При движении твердого тела, кроме сил инерции, на него будут действовать обобщённые силы (силы и моменты сил) обусловленные притяжением к Земле и другими космическими телами, взаимодействием с атмосферой, силой тяги двигателя, Архимедовой выталкивающей силой и т.д. Необходимость учёта тех или иных сил, определяется типом моделируемого объекта (твердого тела), например самолет.

Обобщенные силы (силы и моменты), действующие на объект

Для моделирования движения и устойчивости объекта тяжелее воздуха, в атмосфере Земли, естественно ограничится учётом силы тяжести, силы тяги двигателя и аэродинамическими силами.

1. Сила тяжести - гравитационная сила, действующая на объект вблизи поверхности Земли, которую с хорошим приближением можно считать .

2. Сила тяги – главный вектор системы сил, действующих на объект со стороны движителей, в системе координат может иметь все три составляющие

, , (1)

3. Аэродинамические силы, обусловлены взаимодействием между атмосферой и движущимся в ней объектом, а также его частей. Эти силы зависят от скорости поступательного движения, ориентации к направлению скорости и скорости вращательного движения. Кроме того, в выражение сил будут входить параметры, выражающие конструктивные особенности объекта, а также свойства и состояния среды. Результирующая аэродинамическая сила, может быть разложена на силу аэродинамического сопротивления и на подъёмную силу , противодействующую силе тяжести. Модули этих сил задаются выражениями

, (2)

где - плотность невозмущённой среды,

- скорость объекта относительно этой среды,

- характерная площадь объекта.

Аэродинамические коэффициенты , зависят от формы объекта и критериев подобия [1,2,3] и определяются экспериментально на моделях в аэродинамических трубах.

Совокупность силы тяжести, силы тяги двигателя и аэродинамических сил создают результирующий силовой момент, действие которого определяет устойчивость объекта.

Проанализируем структуру сил. Результирующий силовой моменты, в соответствие с выбором полюса системы координат , определяется относительно центра масс, и имеет три составляющие:

- момент крена,

- момент тангажа,

- момент курса (рысканья).

Сам силовой момент, в общем случае, будет функцией обобщённых координат (навигационных углов) и скоростей (угловой и линейной), а так же иметь параметрическую зависимость от геометрических координат различных частей объекта и характеристик среды

(3)

В принципе возможно построение математической модели объекта на основе общего вида функции силового момента, в том числе с учётом его поступательного движения. Однако, такой подход, оказывается неконструктивным, поскольку предполагает точное задание функциональной зависимости (3) для моделируемого аппарата в различных режимах движения, состояния среды и т.д. На практике вид функции (3) определяется приближенно, опытным путём, лишь в наиболее важных случаях с точки зрения устойчивости объекта.

В этой связи, введём следующие ограничения и допущения для силовых моментов.

Будем рассматривать линейную скорость объекта как параметрическую функцию, в частности, как фиксированный параметр. Такой подход существенно упрощает модель, не нарушая общности рассмотрения, поскольку допускает возможность параметрического изменения линейной скорости непосредственно в ходе компьютерного эксперимента. Это позволяет рассматривать силу аэродинамического сопротивления и подъёмную силу (2) как функции от навигационных углов , и, следовательно, как некоторые, заданные эмпирически, консервативные (потенциальные) силы. Консервативность рассмотренных функций, очевидным образом, влечёт консервативность создаваемых ими вращательных моментов. Принятое допущение позволяет выделить из общего выражения силовых моментов (3) консервативную часть, в которую, очевидно, войдут также моменты создаваемые силой тяжести и силой тяги движителя. Оставшуюся часть функции, целесообразно разделить на силовые моменты с полной и неполной диссипацией энергии. Такое разделение объясняется тем, что при малых отклонениях от положения равновесия влиянием изменением угловых координат на диссипацию энергии вращения можно пренебречь.

Консервативная часть сил позволяет ввести обобщённую потенциальную энергию вращений в форме , при этом:

(4)

Используя обозначения принятые в статье [4], запишем функцию Гамильтона в условиях действия обобщённых сил:

(5)

Динамические уравнения Гамильтона в условиях действия консервативных сил имеют вид

(6)

Наконец полная система уравнений с учетом действия сил с полной и неполной диссипацией имеет форму:

(7)

где - результирующие составляющие диссипативных сил.

С учётом введённых обозначений:

(8)

Система (8) определяет дифференциальную форму математической модели динамики вращательного движения в условиях действия силы тяги движителя, силы тяжести и аэродинамических сил.

Список литературы

1. Zagarola, M.V. and Smits, A.J., “Experiments in High Reynolds Number Turbulent Pipe Flow.” AIAApaper #96-0654, 34th AIAA Aerospace Sciences Meeting, Reno, Nevada, January 15 - 18, 1996.

2. Пашковский И.М. Устойчивость и управляемость самолета / И.М. Пашковский. – М.: Изд-во «Машиностроение», 1975. – С. 328.

3. Смешко Ю.И. Устойчивость и управляемость самолета в эксплуатационной области полета: Справочник / Ю.И. Смешко. - М.: Машиностроение, 1987. - 136 с.

4. Ефимов И.Н. Канонические преобразования фазового пространства в динамике твердого тела. // Вестник ИжГТУ / И.Н. Ефимов, Е.А. Морозов, К.М. Селиванов, Е.В. Ермолаева. - 2009. - №4. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2009. - С. 190-195.


Назад к списку